Bab 2
Bilangan Kompleks
2.1. Pengertian Bilangan Kompleks
Apabila diberikan persamaan , kemudian ditanyakan berapakah nilai x dari persamaan tersebut, maka dapat dituliskan bahwa :
sehingga
Jadi x memiliki 2 buah nilai yaitu :
dan
Sekarang jika persamaan menjadi , nilai x adalah :
Maka nilai x menjadi :
Permasalahannya adalah berapakah nilai yaitu akar dari bilangan negatif. Dalam hal ini dapat ditulis menjadi :
=
Di sini didefinisikan bahwa :
= I
i disebut sebagai bilangan imajiner.
Sehingga nilai x dari persamaan di atas menjadi :
x =
atau
dan
Jadi x memiliki bentuk bilangan imajiner. Sekarang misalkan diberikan sebuah persamaan kuadrat : . Maka dapat ditunjukkan bahwa nilai x adalah :
=
=
dan
Terlihat bahwa nilai x merupakan gabungan bilangan riel dan bilangan imajiner.
Gabungan bilangan riel dan bilangan imajiner inilah yang disebut sebagai bilangan kompleks, dituliskan dalam bentuk :
(2.1)
dimana x dan y adalah bilangan riel dan i =
Bilangan kompleks banyak ditemui dalam persamaan gelombang, dalam bentuk-bentuk fungsi transformasi, dan lain-lain.
Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam satu bidang seperti gambar 2.1.
y
(Im)
(x,y) z = x + i y
x (Re)
Gambar 2.1 Bilangan kompleks dalam koordinat Cartesian
Dalam koordinat polar, bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai
dimana
r disebut juga modulus dan argument dari z
y
r
x
Gambar 2.2 Bilangan kompleks dalam koordinat polar
Contoh :
z = -1 – i
Dalam hal ini x = -1, ,
y
-1
-i
Gambar 2.3
z = -1 –i =
Dalam bentuk polar :
jika z = x + i y, maka bentuk z = x – i y disebut sebagai konjuget dari z. Dalam bentuk kompleks maka akan memiliki bentuk konjuget . Sedangkan modulus r dapat dituliskan sebagai . Apabila z = f + i g dimana f dan g adalah bentuk kompleks, maka .
Contoh-contoh
1. Tentukanlah :
a.
b.
c.
Jawab :
a. =
b. =
c. =
2. Gambarlah grafik dari :
a.
b.
c.
Jawab :
a. = 2
Grafiknya adalah berupa lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari-jarinya 2.
y
2
x
(0,0)
Gambar 2.4
b.
Grafiknya adalah lingkaran yang berpusat di (0,-1) dan jari-jarinya 3.
y
x
3 (0,-1)
Gambar 2.5
c.
Daerah yang diarsir di dalam lingkaran pada gambar 2.6 adalah daerah grafik yang diminta
y
z
Gambar 2.6
2.2. Deret Bilangan Kompleks
Sebuah deret suku-sukunya dapat merupakan bilangan kompleks, misalnya :
Untuk test kekonvergensinya dapat dipakai test ratio :
= Konvergen
Contoh lain adalah . Deret ini dapat ditulis :
=
Bagian real dari deret adalah :
Bagian imajinernya :
Masing-masing deret tersebut dapat di test konvergensinya.
Bilangan kompleks juga dapat berbentuk deret pangkat yaitu : . Dimana z = x+iy
Contoh-contoh deret pangkat bilangan kompleks :
a.
b.
c.
Untuk test konvergensinya dapat dipakai test ratio, misalnya untuk deret :
=
=
Daerah z agar deret konvergen adalah daerah yang diarsir didalam lingkaran
y
x
Gambar 2.7
2.3. Fungsi Bilangan Kompleks
Fungsi bilangan kompleks memiliki bentuk f (z), misalnya f (z) = maka :
f (1-i) =
=
= -1
Contoh lain ; f(z) =
Maka : f(1-i) =
=
=
=
2.4. Formula Euler
Dari deret Taylor, untuk yang real dapat dituliskan :
=
=
=
jadi
Formula Euler ini banyak digunakan dalam operasi aljabar bilangan kompleks, misalnya :
1. Pembagian dan perkalian bilangan kompleks :
Contoh :
Tentukanlah
Jawab :
=
=
= -1 + i
2. Akar-akar bilangan kompleks
Contoh :
Tentukanlah
=
=
=
------------------------------------------------------------------------------
(Kembali ke n = 0)
Jadi nilai ada 6 buah yang ditunjukkan oleh n = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 diatas.
3. Eksponensial dan fungsi trigonometri
Dapat dituliskan bahwa :
Misalnya : tentukanlah
=
=
Contoh lain, tentukanlah nilai cos i dan sin i
Jawab :
Dari formula Euler diketahui :
---------------------------------------------+
Kemudian
_________________________-
Oleh karena itu dapat dituliskan :
(2.3)
Sehingga :
4. Fungsi Hyperbola
Dari persamaan 2.3 dapat dituliskan bahwa :
Jadi untuk bilangan kompleks z dapat dituliskan :
Dan juga :
Soal-soal Latihan dan Penyelesaian
1. Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk : z = x + iy
a. b.
Jawab :
a. = z
=
=
=
=
=
=
b. = z
mis :
=
2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :
a.
Jawab :
a.
------------------------+
13y = 2
3. Analisis dan skets tempat kedudukan yang dinyatakan oleh persamaan :
Jawab :
dikuadratkan
dikuadratkan
persamaan ellips
Skets :
y
Gambar 2.8
4. Hitunglah bilangan kompleks yang memenuhi (mungkin lebih dari satu) dari :
a.
b.
Jawab :
a.
z = 2i - 2
= 27, 99, 171, 273,315
=
b. (Caranya sama dengan 4.a)
5. Cari impedansi rangkaian di bawah. Rangkaian dikatakan beresonansi jika Z riil; temukan dalam bentuk R, L, C saat beresonansi.
R L
C
Jawab :
=
=
=
=
=
Terjadi resonansi :
=
6. Dengan menggunakan pengertian bilangan kompleks tunjukkan bahwa :
tetapan
Jawab :
Maka :
tetapan
atau , ambil y = 1 x = -2
vektor eigen :
untuk , didapatkan :
atau , ambil
vektor eigen :
Soal-soal Latihan
1. Tentukanlah nilai-nilai dari bentuk kompleks dari :
a.
b.
c.
d.
2. Tentukan bagian real dan imajiner dari :
3. Deskripsikan nilai z untuk :
4. Tentukan daerah konvergensi dari deret :
5. a. Tunjukkan bahwa
b. Apakah
c. Jika , apakah ?
d. Jika adalah diekspresikan dalam bentuk deret pangkat dengan koefisien bilangan real, tunjukkan bahwa
6. a. Tunjukkan bahwa dan
b. Tunjukkan bahwa
c. Gunakan b di atas untuk menghitung :
7. Jika dan , Tentukan z
8. Gunakan deret yang anda ketahui untuk menghitung :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar